sala: B2-39,  godz. 10⁰⁰ - 12⁰⁰

sala: B2-39,  godz. 10⁰⁰ - 12⁰⁰

sala: B2-39,  godz. 10⁰⁰ - 12⁰⁰

Niech $p_n$ oznacza $n$-tą liczbę pierwszą, oraz $d_n:=p_{n+1}-p_n$, $n=1,2,\ldots$. Wyniki Cramera (z lat 30-tych XX wieku), a także statystyka, sugerują, że nierówność $d_n\le \log^2 p_n$ zachodzi dla wszystkich $n\in \textbf{N}$. W roku 2001, Baker, Harman i Pintz wykazali - bez założenia Hipotezy Riemanna - znacznie słabszą nierówność: $d_n=O(p_n^{0.5 + 1/40})$, przy czym stałych definiujących ostatnią nierówność nie dało się oszacować efektywnie, a wynik ten do dzisiaj pozostaje niezmieniony: stałej $1/40$ nie udało się zmniejszyć. Okazuje się, że nierówność Cramera jest ściśle związana z przypuszczeniem Firoozbakht: ciąg $(p_n^{1/n})$ jest ściśle malejący. Przypuszczenie to jest silniejsze niż nierówność Cramera. W referacie przedstawię wyniki własne dotyczące gęstości asymptotycznej zbioru liczb $\subset {\bf N}$ na którym zachodzi nierówność Cramera.